В геометрии сумма внешних углов многоугольника является важной характеристикой, которая имеет постоянное значение для всех выпуклых многоугольников независимо от количества сторон.
Содержание
Определение внешнего угла
Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с внутренним углом фигуры. Он образуется продолжением одной из сторон многоугольника.
| Тип угла | Описание |
| Внутренний угол | Угол внутри многоугольника при его вершине |
| Внешний угол | Угол между продолжением стороны и смежной стороной |
Теорема о сумме внешних углов
Для любого выпуклого n-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам.
Формула суммы внешних углов
Σα = 360°, где α - внешние углы многоугольника
Примеры для различных фигур
| Фигура | Количество сторон | Сумма внешних углов |
| Треугольник | 3 | 360° |
| Четырехугольник | 4 | 360° |
| Пятиугольник | 5 | 360° |
| n-угольник | n | 360° |
Доказательство теоремы
- В каждой вершине сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°
- Сумма всех внутренних углов n-угольника равна (n-2)×180°
- Общая сумма всех пар углов (внутренний + внешний) равна n×180°
- Вычитаем сумму внутренних углов: n×180° - (n-2)×180° = 360°
Практическое применение
- В архитектуре при проектировании зданий
- В компьютерной графике при моделировании объектов
- В навигации и картографии
- При решении геометрических задач на построение
Важное замечание
Теорема о сумме внешних углов справедлива только для простых выпуклых многоугольников. Для невыпуклых (вогнутых) многоугольников сумма внешних углов может отличаться от 360 градусов.
